уравнения в файлах. карточки 1 класс

Содержание

Слайд 1
«Моя математика» 1 класс
Урок 69
Тема урока: «Уравнение»
Автор презентации
Татузова Анна Васильевна
http://avtatuzova.ru
учитель
начальных классов
г. Москва
Советы учителю.
Презентация к уроку составлена на основе заданий, расположенных в учебнике

Рекомендую открыть учебник на странице с данным уроком, прочитать задания и просмотреть их в данной презентации в режиме демонстрации.
Внимание!
Некоторые задания можно выполнять интерактивно. Например, продолжить ряд, сравнить или вставить пропущенные числа

Для этого презентацию надо перевести в режим редактирования.

Слайд 2
1. Помоги Кате превратить её записи в верные равенства. Какие числа ей записать в окошках?
Внимание!
Данное задание можно выполнить интерактивно. Для этого презентацию надо перевести в режим редактирования.
1
2
4
5
7
3
6
9
8
10
0
5 + 4 = 9
10 – 3 = 7
9 – 4 = 5
3 + 7 = 10

часть + часть = целое
1
2
4
5
7
3
6
9
8
10
0
целое – часть = часть
ПОДСКАЗКА!
Урок 69. Уравнение
МАТЕМАТИКА

Слайд 3
1. Помоги Кате превратить её записи в верные равенства. Какие числа ей записать в окошках?
1
2
4
5
7
3
6
9
8
10
0
5 + 4 = 9
10 – 3 = 7
9 – 4 = 5
3 + 7 = 10

часть + часть = целое
1
2
4
5
7
3
6
9
8
10
0
целое – часть = часть
ПОДСКАЗКА!
ПРОВЕРЬ!
Урок 69. Уравнение
МАТЕМАТИКА

Слайд 4
1. Помоги Кате превратить её записи в верные равенства. Какие числа ей записать в окошках?
1
2
4
5
7
3
6
9
8
10
0
5 + 4 = 9
10 – 3 = 7
9 – 4 = 5
3 + 7 = 10
х
х
у
у
часть + часть = целое
1
2
4
5
7
3
6
9
8
10
0
целое – часть = часть
ПОДСКАЗКА!
!Неизвестные числа обозначим латинскими буквами x( икс) и y(игрек).
У вас получились УРАВНЕНИЯ.
Урок 69. Уравнение
МАТЕМАТИКА

Слайд 5
2. Прочитай уравнения, которые записал Петя.
1
2
4
5
7
3
6
9
8
10
0
х – 4 = 6
8 – у = 5
3
10
часть + часть = целое
1
2
4
5
7
3
6
9
8
10
0
целое – часть = часть
ПОДСКАЗКА!
Помоги ему подобрать вместо х и у такие числа, чтобы получились верные равенства.
? Как решить уравнение?
Урок 69. Уравнение
МАТЕМАТИКА

Слайд 6
! Решить уравнение – это значит найти неизвестное число. Если подставить его в уравнение вместо буквы, то должно получиться верное равенство.
1
2
4
5
7
3
6
9
8
10
0
– 4 = 6
8 – = 5
х = 10
часть + часть = целое
1
2
4
5
7
3
6
9
8
10
0
целое – часть = часть
ПОДСКАЗКА!
у= 3
10
у
Ответ: 10.
х
3
Ответ: 3.
Урок 69. Уравнение
МАТЕМАТИКА

Слайд 7
3. Объясни Вове, как ему решить уравнения.
1
2
4
5
7
3
6
9
8
10
0
часть + часть = целое
1
2
4
5
7
3
6
9
8
10
0
целое – часть = часть
ПОДСКАЗКА!
– 2 = 8
х =
Ответ:
х
Ответ:
+ 6 = 9
х
х =
у =
4 + = 5
у
Ответ:
– 3 = 3
у
у =
Ответ:
Внимание!
Данное задание можно выполнить интерактивно. Для этого презентацию надо перевести в режим редактирования.
Урок 69. Уравнение
МАТЕМАТИКА

Слайд 8
Ответ:
+ 6 = 9
х
х =
– 2 = 8
х =
Ответ:
х
– 3 = 3
у
у =
Ответ:
у =
4 + = 5
у
Ответ:
1
3. Объясни Вове, как ему решить уравнения.
1
3
10
часть + часть = целое
3
10
целое – часть = часть
ПОДСКАЗКА!
6
6
1
2
4
5
7
3
6
9
8
10
0
1
2
4
5
7
3
6
9
8
10
0
ПРОВЕРЬ!
Урок 69. Уравнение
МАТЕМАТИКА

Слайд 9
Внимание!
Данное задание можно выполнить интерактивно. Для этого презентацию надо перевести в режим редактирования.
5. Реши задачи Вовы и Пети.
В. У реки растут 4 осины и 3 липы. Сколько всего деревьев у реки?
1
2
4
5
7
3
6
9
8
10
0
1
2
4
5
7
3
6
=
8
10
0

Ответ:
+

=
+
+

д.
д.
д.
осины
липы

Урок 69. Уравнение
МАТЕМАТИКА

Слайд 10
5. Реши задачи Вовы и Пети.
В. У реки растут 4 осины и 3 липы. Сколько всего деревьев у реки?
1
2
4
5
7
3
6
9
8
10
0
1
2
4
5
7
3
6
=
8
10
0

+

=
+
+

д.
д.
д.
осины
липы
4
3
?
Ответ:
всего 7 деревьев.
Урок 69. Уравнение
МАТЕМАТИКА
ПРОВЕРЬ!

Слайд 11
Внимание!
Данное задание можно выполнить интерактивно. Для этого презентацию надо перевести в режим редактирования.
5. Реши задачи Вовы и Пети.
П. На снегу 10 следов. 4 следа оставила сорока, а остальные вороны. Сколько следов оставили вороны?
1
2
4
5
7
3
6
9
8
10
0
1
2
4
5
7
3
6
=
8
10
0
Ответ:
+

=
+
+

Урок 69. Уравнение
МАТЕМАТИКА

сл.
сл.
сл.
вороны
сорока
?
4
10

Слайд 12
5. Реши задачи Вовы и Пети.
П. На снегу 10 следов. 4 следа оставила сорока, а остальные вороны. Сколько следов оставили вороны?
1
2
4
5
7
3
6
9
8
10
0
1
2
4
5
7
3
6
=
8
10
0
Ответ:
+

=
+
+

сл.
сл.
сл.
вороны
сорока
?
4
10

Урок 69. Уравнение
МАТЕМАТИКА
ПРОВЕРЬ!

Слайд 13
Спасибо!
МАТЕМАТИКА

Посмотреть все слайды

Занимательные задачи и уравнения для учащихся 1 класса УМК Школа России

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах. 1

Решить уравнения, в которых неизвестна часть

1. Решить уравнения, в которых неизвестна часть

Х+4=7 Х-5=4 3+Х=10 8-Х=2

2. Решить уравнения, в которых целое одинаково

Х+7=9 9+Х=10 Х-9=2 9-Х=6

3. Найти ошибку и решить уравнения

4. Найти «лишнее» уравнение и решить его

Х+7=12 12-Х=8 Х-7=8 Х-6=6

5. Определить, что общего в уравнениях и решить их

27-Х=13 Х-10=17 15+Х=27 Х+11=27

6. Составить из данных ниже чисел все возможные уравнения и решить их

7. Разбить уравнения на группы и решить их

Х+9=18 3+Х=16 16-Х=7 Х-6=12

8. Решить уравнения, в которых целым является круглое число

Х+7=13 40-Х=10 30-Х=28 Х+7=20

1. Составь схемы к задачам и реши их:

А) В одной вазе 3 яблока, а в другой – 4 яблока. Сколько яблок в двух вазах?

Б) Маша вымыла 4 тарелки, Таня – 3 тарелки, а Вася – 1 тарелку. Сколько всего тарелок вымыли ребята?

В) У кошки родилось 5 котят. Из них 3 котёнка были рыжие, а остальные белые. Сколько белых котят было у кошки?

Г) В букете из 9 цветов было 3 гвоздики, 3 тюльпана, а остальные розы. Сколько роз было в букете?

2. Дополни вопрос и реши задачи:

А) У Кати было 4 яблока и 3 груши. Сколько…?

Б) На полке стояло 4 книги со стихами, 2 – со сказками и 3 книги с рассказами. Сколько…?

В) На площадке играли 4 мальчика и девочки. Всего играло 7 ребят. Сколько…?

Г) Лена нарисовала 7 рисунков. 2 рисунка с бабочками, 4 – со стрекозами, а остальные с цветами. Сколько…?

3. Составь схемы к задачам и реши их:

А) У Вани 3 ручки, а карандашей на 5 больше. Сколько карандашей у Вани?

Б) Оле 5 лет, а её брат на 2 года моложе. Сколько лет Олиному брату?

В) Во дворе стояло 8 легковых машин и 3 грузовые. На сколько легковых машин было больше?

Г) В огороде 3 грядки с огурцами, а с помидорами на 2 грядки больше. Сколько всего грядок в огороде?

4. Поставь вопросы к данным условиям так, чтобы задачи решались в одно действие:

А) Папа посадил 8 деревьев, а Дима на 2 дерева меньше.

Б) Косте 11 лет, а его сестре 3 года.

В) Капризуля наплакала за день 6 ковшей слёз, а царевна Несмеяна на 4 ковша слёз больше.

5. Поставь вопрос в задаче так, чтобы она решалась в два действия:

А)Масса арбуза 7 кг, а дыня на 3 кг легче арбуза.

Б) У Пятачка 2 ореха, а у Винни-Пуха на 3 ореха больше.

6. Составь схему к условию, поставь все возможные вопросы и ответь на них:

1. В магазине было 15 белых сумок и 12 коричневых сумок. За день продали 8 белых сумок и 4 коричневых.

2. В 1 «А» учится 24 человека. Из них 11 мальчиков. В 1 «Б» учится 15 мальчиков и 10 девочек.

3. На одном берегу растут 11 деревьев. Среди них 3 берёзы, а остальные липы. На другом берегу растут 5 деревьев. Из них 2 берёзы, а остальные липы.

4. Настя и Валя сажали цветы. Настя посадила 6 роз и 9 тюльпанов. Валя посадила 12 цветов, из них 3 розы, а остальные тюльпаны.

5. В лыжных соревнованиях от нашей школы участвовали 9 учеников, среди которых было 4 девочки. От соседней школы участвовали 7 мальчиков и 3 девочки.

6. У Толи было 3 марки. 7 марок ему подарила мама, а ещё 2 марки подарила сестра.

7. Исправь ошибки и реши задачи:

1. У белочки было 10 золотых орешков, а серебряных – на 5 меньше. Сколько золотых орешков было у белочки?

2. Золушка перебрала за день 3 мешка с рисом и 7 мешков с гречкой. Сколько раз Золушка танцевала на балу с Принцем?

3. На кочке сидело 9 лягушек, 4 лягушки прыгнули в воду. Сколько лягушек прыгнуло в воду?

4. Мама купила 38 гвоздей. 24 гвоздя съели. Сколько гвоздей осталось?

5. У Коли 6 машинок, а у Толи 8 машинок.

6. В стае было 15 кур. Из тёплых стран прилетели еще 12 куриц. Сколько кур стало в стае?

Два способа решения тригонометрических уравнений – через формулы и по кругу

В принципе, я не могу сказать, что легче: держать в голове, как строится круг, или помнить 4 формулы.

Тут решать тебе самому, однако я всё же предпочитаю решать данные уравнения через формулы, поэтому здесь я буду описывать именно этот метод.

Вначале мы начнём с «самых простейших» из простейших уравнений вида:

  • \( \displaystyle \text{sinx}=\text{a}\),
  • \( \displaystyle \text{cosx}=\text{a}\),
  • \( \displaystyle \text{tgx}=\text{a}\),
  • \( \displaystyle \text{ctgx}=\text{a}\).

Я хочу сразу оговориться вот о чем, будь внимателен:

То есть, тебе не надо знать вообще никаких формул, чтобы спокойно ответить, что уравнения, например:

\( \displaystyle sinx=1000\)\( \displaystyle cos\left( 3{x}-sin\left( x \right) \right)=2\)\( \displaystyle sin\left( 2{{x}^{2}}-2x+1 \right)=-3\)Корней не имеют!!!

Почему?

Потому что они “не попадают” в промежуток от минус единицы до плюс единицы.

Ещё раз скажу: внимательно обдумай эти слова, они уберегут тебя от многих глупых ошибок!!!

Начальные классы. Уравнения.

С уравнениями ученики знакомятся в 1 классе. Сначала решают примеры с окошком: выполняют действия с числами и задания на нахождение неизвестного числа, например было равенство:

И одно число решили спрятать:

Нам нужно догадаться, что за число спрятали?Здесь прекрасно видно, чтобы найти неизвестное число, нужно из 9 — 2Искомое число – 7.

В нашем равенстве – искомое число называют неизвестным числом.А равенство, в котором одно число стало неизвестным, называется УРАВНЕНИЕМ.Никто из вас никогда не видел, чтобы уравнения делали с «окошком». Это неудобно. Гораздо проще неизвестное обозначать буквами.

Неизвестное число обозначают маленькими латинскими буквами

или любой другой буквой.

И этому числу дают имя – корень уравнения.Давайте посмотрим записи:8+х8+х>58+х =10Только третья запись — уравнение. Потому что здесь есть неизвестное число и знак =.Нам необходимо узнать это число.Найти все значения х, при котором равенство будет верным — значит, решить уравнение, т.е. найти его корень.

При решении уравнения учитываем взаимосвязи между целым и частью:— чтобы найти целое, надо сложить части;— чтобы найти часть, надо из целого вычесть другую часть.

Если вы хотите более подробно узнать, как связаны целое и части, читайте тут.

Решение записывается так:

Корень пишем на следующей строке и подчеркиваем прямой линией.

Корень уравнения = 7, следовательно, наше уравнение решено.Нам обязательно нужно проверить правильно мы нашли корень уравнения или нет.Уравнение без проверки – это не уравнение.Итак, в нашем уравнении корень –7, мы его подчеркнули, а теперь сделаем проверку. Для этого мы переписываем первую строку уравнения, но вместо неизвестного поставим значение корня.Теперь: знак = пишем под знаком =. Число, записанное справа от знака равно: 9 – переписываем. Выражение, которое находится слева от знака равно: 7 + 2 – считаем. Получится 9. Это число 9 записываем слева от знака =.Читаем выражение: 9 = 9. Значит, уравнение решили правильно.

Решим еще одно уравнение:

Ученикам начальной школы нужно обязательно овладеть математической речью. Для этого нужно знать, как называются компоненты при различных действиях, и как находится неизвестный компонент:

Если из суммы вычесть одно из слагаемых, то получится другое слагаемое.Если к разности прибавить вычитаемое, то получится уменьшаемое.Если из уменьшаемого вычесть разность, то получится вычитаемое.

Насколько публикация полезна?

Нажмите на звезду, чтобы оценить!

Средняя оценка 5 / 5. Количество оценок: 66

Урок математики в 1 классе по теме: «Уравнения»

Цели

Ввести понятие уравнения, научить решать уравнения с неизвестными компонентами-слагаемыми на основе взаимосвязи между частью и целым; обрабатывать навыки быстрого и стабильного счета в пределах 9; развивать логическое мышление, внимание, память, аналитические способности

Оборудование. Учебник “Математика. 1 класс” (сост. Л.Г. Петерсон). Издательство “С-инфо”.

I. Организационный момент

Учитель: Прочитайте, что написано?

На доске: “Если не лениться…”

У. Как бы вы продолжили? (Ответы детей). Вот как продолжила я: “Можно многого добиться”. Вы готовы не лениться?

II. Актуализация знаний и мотивация.

Проверка устного счета. Учитель диктует числовые выражения:

Дети устно считают, ответ говорят вслух. Учитель на доске записывает ответы.

У. Составьте с помощью чисел 2, 7, 5 четыре равенства. Обозначьте в них целое и части.

Проверка: один ученик на доске записывает суммы (2 + 5 = 7, 5 + 2 =7), другой – разности (7 –5 =2, 7 – 2 =5).

У. Назовите, где целое и части. Почему?

Д. 2 и 5 – это части, т.к. складывать мы можем только части. 7 – это целое, т.к. вычитать мы можем только из целого.

У. Что записано на доске?

Д. Равенства с неизвестным числом.

У. Каким образом будем считать?

Д. Методом подбора.

У. Найдите ошибки. Почему?

III. Постановка проблемы.

У. Рассмотрите вот эту запись. Что это на ваш взгляд?

На доске: Х + 2 = 5

Д. Равенство, в котором есть неизвестный компонент.

У. Такие равенства в математике называются уравнениями. (Учитель на доске вывешивает табличку с надписью “Уравнение”).

Неизвестное число в уравнениях можно обозначить по-разному, но чаще всего используют латинские буквы, например Х.

Давайте решим наше уравнение. Чему равен Х?

Д. Х равен 3.

У. Значение Х называют корнем уравнения.

У. Почему Х равен 3? Как нашли?

Д. 5 – это 2 и 3. Подобрали число.

У. Итак, мы решили уравнение с помощью подбора корней.

У. Чем это уравнение отличается от предыдущего? Сравните их.

Д. В этом уравнении даны геометрические фигуры.

У. Решим уравнение. Чему равен Х?

Д.

У. Как нашли корень уравнения?

Д. Способом подбора.

У. У вас на карточках дано уравнение. Решите его самостоятельно. Каким способом вы будете решать?

Д. Способом подбора.

У. Легко ли найти Х – корень уравнения способом подбора?

Д. Трудно.

У. Удобно подбирать геометрическую фигуру?

Д. Нет.

IV. Поиск решения.

У. Что же нам нужно сделать сегодня на уроке?

Д. Найти новый способ решения уравнения.

У. Есть такой “секрет”, который как “волшебный ключик”, поможет решить любое уравнение. Подумайте, какое действие с “мешками” нужно сделать, чтобы найти Х?

Д. Вычитание.

У. Почему?

Д. Потому, что Х – это часть.

У. А как найти часть?

Д. Из целого вычесть другую часть.

У. Зачеркните в сумме известную часть. Какие фигурки остались? Удобно так считать? Какое правило нам помогло?

Д. Чтобы найти часть, надо из целого вычесть другую часть.

У. Давайте проверим по учебнику.

с. 20 (Дети читают по учебнику правило и убеждаются в правильности своего вывода.)

Чтобы найти часть, надо из целого вычесть другую часть

V. Закрепление изученного материала с проговариванием.

У. Прочитайте уравнение. Что неизвестно?

Д. Из целого вычесть другую часть.

Уравнения можно составлять не только с геометрическими фигурами, но и с буквами.

  1. Прочитайте уравнение.
  2. Что неизвестно?
  3. Как найти?
  4. Чему равен Х?

Дети отвечают на вопросы.

VI. Самостоятельная работа по выбору.

с. 20, № 3, 4. Проверка в парах.

VII. Включение нового способа действия в систему знаний.

У. Давайте рассмотрим рисунок. Что видите?

Д. Весы в равновесии.

У. Что обозначено за Х?

Д. Масса мешка с крупой.

У. Давайте составим уравнение.

Д. Х + 2 = 4

У. Объясните по образцу как решали уравнение. (Составление алгоритма на доске).

Д.

1. Выделить части и целое. 2. Определить, что неизвестно. 3. Применить правило (как найти). 4. Найти корень уравнения.

№5 (б) – с комментированием (рассмотреть рисунок, составить уравнение, решить по алгоритму);

№5 (в) – самостоятельно с проверкой на доске:

У. Встаньте те ребята, у кого решено уравнение так, как у меня на доске.

VIII. Итог урока. Рефлексия деятельности.

У. Мы начали урок со слов: “Если не лениться, можно многого добиться”.

Кто сегодня не ленился? А чего же вы добились? Что узнали нового? Какое “открытие” сделали?

А вы хотите составить свои уравнения? У вас на столах лежат листочки. Попробуйте сейчас придумать свои уравнения. Они могут быть любые: числовые, буквенные, с использованием геометрических фигур. Пофантазируйте, как можно изобразить неизвестный компонент.

Уравнения, сводящихся к разложению на множители

Самое важное, что тебе нужно помнить, чтобы решать уравнения этого типа, это:

  • Формулы приведения
  • Синус, косинус двойного угла

Как показывает практика, как правило, этих знаний достаточно. Давай обратимся к примерам.

Уравнения, сводящиеся к разложению с помощью синуса двойного угла:

Уравнение 18. Ре­ши­те урав­не­ние \( \displaystyle sin2x=\text{sin}\left( \frac{\pi }{2}+x \right)\). Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку \( \displaystyle \left\)

Здесь, как я и обещал, работают формулы приведения:

\( \displaystyle \sin \left( \frac{\pi }{2}+x \right)=cosx\)Тогда мое уравнение примет вот такой вид:

\( \displaystyle sin2x=cosx\)Что дальше? А дальше обещанный мною второй пункт программы – синус двойного угла:

\( \displaystyle sin2x=2sinxcosx\)Тогда мое уравнение примет следующую форму:

\( \displaystyle 2sinxcosx=cosx\)Недальновидный ученик мог бы сказать: а теперь я сокращу обе части на \( \displaystyle cosx\), получаю простейшее уравнение \( \displaystyle 2sinx=1\) и радуюсь жизни! И будет горько заблуждаться!

Запомни!

Никогда нельзя сокращать обе части тригонометрического уравнения на функцию, содержащую неизвестную! Таки образом ты теряешь корни!

Так что же делать? Да все просто, переносить все в одну сторону и выносить общий множитель:

\( \displaystyle 2sinxcosx-cosx=0\)\( \displaystyle cosx\left( 2sinx-1 \right)=0\)Ну вот, на множители разложили, ура! Теперь решаем:

\( \displaystyle cosx=0\) или \( \displaystyle 2sinx=1\)Первое уравнение имеет корни:

\( \displaystyle x=\frac{\pi }{2}+\pi n\).

А второе:

Начальные классы. Уравнения.

С уравнениями ученики знакомятся в 1 классе. Сначала решают примеры с окошком: выполняют действия с числами и задания на нахождение неизвестного числа, например было равенство:

И одно число решили спрятать:

Нам нужно догадаться, что за число спрятали?Здесь прекрасно видно, чтобы найти неизвестное число, нужно из 9 — 2Искомое число – 7.

В нашем равенстве – искомое число называют неизвестным числом.А равенство, в котором одно число стало неизвестным, называется УРАВНЕНИЕМ.Никто из вас никогда не видел, чтобы уравнения делали с «окошком». Это неудобно. Гораздо проще неизвестное обозначать буквами.

Неизвестное число обозначают маленькими латинскими буквами

или любой другой буквой.

И этому числу дают имя – корень уравнения.Давайте посмотрим записи:8+х8+х>58+х =10Только третья запись — уравнение. Потому что здесь есть неизвестное число и знак =.Нам необходимо узнать это число.Найти все значения х, при котором равенство будет верным — значит, решить уравнение, т.е. найти его корень.

При решении уравнения учитываем взаимосвязи между целым и частью:— чтобы найти целое, надо сложить части;— чтобы найти часть, надо из целого вычесть другую часть.

Если вы хотите более подробно узнать, как связаны целое и части, читайте тут.

Решение записывается так:

Корень пишем на следующей строке и подчеркиваем прямой линией.

Корень уравнения = 7, следовательно, наше уравнение решено.Нам обязательно нужно проверить правильно мы нашли корень уравнения или нет.Уравнение без проверки – это не уравнение.Итак, в нашем уравнении корень –7, мы его подчеркнули, а теперь сделаем проверку. Для этого мы переписываем первую строку уравнения, но вместо неизвестного поставим значение корня.Теперь: знак = пишем под знаком =. Число, записанное справа от знака равно: 9 – переписываем. Выражение, которое находится слева от знака равно: 7 + 2 – считаем. Получится 9. Это число 9 записываем слева от знака =.Читаем выражение: 9 = 9. Значит, уравнение решили правильно.

Решим еще одно уравнение:

Ученикам начальной школы нужно обязательно овладеть математической речью. Для этого нужно знать, как называются компоненты при различных действиях, и как находится неизвестный компонент:

Если из суммы вычесть одно из слагаемых, то получится другое слагаемое.Если к разности прибавить вычитаемое, то получится уменьшаемое.Если из уменьшаемого вычесть разность, то получится вычитаемое.

Насколько публикация полезна?

Нажмите на звезду, чтобы оценить!

Средняя оценка 5 / 5. Количество оценок: 66

Уравнения с заменой переменных

В ряде случаев для решения показательного уравнения следует ввести новую переменную. В учебных заданиях такая замена чаще всего (но не всегда) приводит к квадратному ур-нию.

Задание. Решите уравнение методом замены переменной

Заметим, что в уравнении стоят степени тройки и девятки, но 32 = 9. Тогда введем новую переменную t = 3x. Если возвести ее в квадрат, то получим, что

C учетом этого изначальное ур-ние можно переписать:

Получили обычное квадратное ур-ние. Решим его:

Мы нашли два значения t. Далее необходимо вернуться к прежней переменной, то есть к х:

Первое ур-ние не имеет решений, ведь показательная функция может принимать лишь положительные значения. Поэтому остается рассмотреть только второе ур-ние:

Ответ: 2.

Задание. Найдите корни ур-ния

Решение. Здесь в одном ур-нии стоит сразу три показательных функции. Попытаемся упростить ситуацию и избавиться от одной из них. Для этого поделим ур-ние на выражение 44х+1:

Так как 14х+1 = 1, мы можем записать:

Обратим внимание, что делить ур-ние на выражение с переменной можно лишь в том случае, если мы уверены, что оно не обращается в ноль ни при каких значениях х. В данном случае мы действительно можем быть в этом уверены, ведь величина 44х+1 строго положительна при любом х

Вернемся к ур-нию. В нем стоят величины (9/4)4х+1 и (3/2)4х+1. У них одинаковые показатели, но разные степени. Однако можно заметить, что

9/4 = (3/2)2, поэтому и (9/4)4х+1 = ((3/2)4х+1)2. Это значит, что перед нами уравнение с заменой переменных.

Произведем замену t = (3/2)4х+1, тогда (9/4)4х+1 = ((3/2)4х+1)2 = t2. Далее перепишем ур-ние с новой переменной t:

Снова получили квадратное ур-ние.

Возвращаемся к переменной х:

И снова первое ур-ние не имеет корней, так как при возведении положительного числа в степень не может получится отрицательное число. Остается решить второе ур-ние:

Ответ: – 0,25.

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.

Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.

Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Демоурок по математике
Узнайте, какие темы у вас «хромают», а после — разбирайте их без зубрежки формул и скучных лекций.
Пройти урок

Правила уменьшения или увеличения уравнения в несколько раз.

Данное правило подходит тогда, когда вы уже посчитали все неизвестные и известные, но какой-то коэффициент остался перед переменной. Чтобы избавится от не нужного коэффициента мы применяем правило уменьшения или увеличения в несколько раз коэффициент уравнения.

Рассмотрим пример:
Решите уравнение 5x=20.

Решение:
В данном уравнение не нужно переносить переменные и числа, все компоненты уравнения стоят на месте. Но нам мешает коэффициент 5 который стоит перед переменной x. Мы не можем его просто взять и перенести в правую сторону уравнения, потому что между число 5 и переменно x стоит умножение 5⋅х. Если бы между переменной и числом стоял знак плюс или минус, мы могли бы 5 перенести вправо. Но мы так поступить не можем. За то мы можем все уравнение уменьшить в 5 раз или поделить на 5. Обязательно делим правую и левую сторону одновременно.

5x=20
5x:5=20:5
5:5x=4
1x=4 или x=4

Делаем проверку уравнения. Вместо переменной x подставляем 4.
5x=20
5⋅4=20
20=20 получили верное равенство, корень уравнение найден правильно.
Ответ: x=4.

Рассмотрим следующий пример:
Найдите корни уравнения   .

Решение:
Так как перед переменной x стоит коэффициент  необходимо от него избавиться. Надо все уравнение увеличить в 3 раза или умножить на 3, обязательно умножаем левую часть уравнения и правую часть.

1x=21 или x=21

Сделаем проверку уравнения. Подставим вместо переменной x полученный корень уравнения 21.

7=7 получено верное равенство.

Ответ: корень уравнения равен x=21.

Следующий пример:
Найдите корни уравнения

Решение:
Сначала перенесем -1 в правую сторону уравнения относительно знака равно, а   в левую сторону и знаки у них поменяются на противоположные.
Теперь нужно все уравнение умножить на 5, чтобы в коэффициенте  перед переменной x убрать из знаменателя 5.

3x=45

Далее делим все уравнение на 3.

3x:3=45:3
(3:3)x=15

1x=15 или x=15

Сделаем проверку. Подставим в уравнение найденный корень.

5=5

Ответ: x=15

Занимательные задачи и уравнения для учащихся 1 класса УМК Школа России

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах. 1

Решить уравнения, в которых неизвестна часть

1. Решить уравнения, в которых неизвестна часть

Х+4=7 Х-5=4 3+Х=10 8-Х=2

2. Решить уравнения, в которых целое одинаково

Х+7=9 9+Х=10 Х-9=2 9-Х=6

3. Найти ошибку и решить уравнения

4. Найти «лишнее» уравнение и решить его

Х+7=12 12-Х=8 Х-7=8 Х-6=6

5. Определить, что общего в уравнениях и решить их

27-Х=13 Х-10=17 15+Х=27 Х+11=27

6. Составить из данных ниже чисел все возможные уравнения и решить их

7. Разбить уравнения на группы и решить их

Х+9=18 3+Х=16 16-Х=7 Х-6=12

8. Решить уравнения, в которых целым является круглое число

Х+7=13 40-Х=10 30-Х=28 Х+7=20

1. Составь схемы к задачам и реши их:

А) В одной вазе 3 яблока, а в другой – 4 яблока. Сколько яблок в двух вазах?

Б) Маша вымыла 4 тарелки, Таня – 3 тарелки, а Вася – 1 тарелку. Сколько всего тарелок вымыли ребята?

В) У кошки родилось 5 котят. Из них 3 котёнка были рыжие, а остальные белые. Сколько белых котят было у кошки?

Г) В букете из 9 цветов было 3 гвоздики, 3 тюльпана, а остальные розы. Сколько роз было в букете?

2. Дополни вопрос и реши задачи:

А) У Кати было 4 яблока и 3 груши. Сколько…?

Б) На полке стояло 4 книги со стихами, 2 – со сказками и 3 книги с рассказами. Сколько…?

В) На площадке играли 4 мальчика и девочки. Всего играло 7 ребят. Сколько…?

Г) Лена нарисовала 7 рисунков. 2 рисунка с бабочками, 4 – со стрекозами, а остальные с цветами. Сколько…?

3. Составь схемы к задачам и реши их:

А) У Вани 3 ручки, а карандашей на 5 больше. Сколько карандашей у Вани?

Б) Оле 5 лет, а её брат на 2 года моложе. Сколько лет Олиному брату?

В) Во дворе стояло 8 легковых машин и 3 грузовые. На сколько легковых машин было больше?

Г) В огороде 3 грядки с огурцами, а с помидорами на 2 грядки больше. Сколько всего грядок в огороде?

4. Поставь вопросы к данным условиям так, чтобы задачи решались в одно действие:

А) Папа посадил 8 деревьев, а Дима на 2 дерева меньше.

Б) Косте 11 лет, а его сестре 3 года.

В) Капризуля наплакала за день 6 ковшей слёз, а царевна Несмеяна на 4 ковша слёз больше.

5. Поставь вопрос в задаче так, чтобы она решалась в два действия:

А)Масса арбуза 7 кг, а дыня на 3 кг легче арбуза.

Б) У Пятачка 2 ореха, а у Винни-Пуха на 3 ореха больше.

6. Составь схему к условию, поставь все возможные вопросы и ответь на них:

1. В магазине было 15 белых сумок и 12 коричневых сумок. За день продали 8 белых сумок и 4 коричневых.

2. В 1 «А» учится 24 человека. Из них 11 мальчиков. В 1 «Б» учится 15 мальчиков и 10 девочек.

3. На одном берегу растут 11 деревьев. Среди них 3 берёзы, а остальные липы. На другом берегу растут 5 деревьев. Из них 2 берёзы, а остальные липы.

4. Настя и Валя сажали цветы. Настя посадила 6 роз и 9 тюльпанов. Валя посадила 12 цветов, из них 3 розы, а остальные тюльпаны.

5. В лыжных соревнованиях от нашей школы участвовали 9 учеников, среди которых было 4 девочки. От соседней школы участвовали 7 мальчиков и 3 девочки.

6. У Толи было 3 марки. 7 марок ему подарила мама, а ещё 2 марки подарила сестра.

7. Исправь ошибки и реши задачи:

1. У белочки было 10 золотых орешков, а серебряных – на 5 меньше. Сколько золотых орешков было у белочки?

2. Золушка перебрала за день 3 мешка с рисом и 7 мешков с гречкой. Сколько раз Золушка танцевала на балу с Принцем?

3. На кочке сидело 9 лягушек, 4 лягушки прыгнули в воду. Сколько лягушек прыгнуло в воду?

4. Мама купила 38 гвоздей. 24 гвоздя съели. Сколько гвоздей осталось?

5. У Коли 6 машинок, а у Толи 8 машинок.

6. В стае было 15 кур. Из тёплых стран прилетели еще 12 куриц. Сколько кур стало в стае?

Старшая школа

9 класс

Контрольная работа. Уравнения

Итоговая контрольная работа для девятиклассников по всем типам уравнений с ответами.

Представлены следующие типы уравнений:

  • линейные уравнения;
  • квадратные;
  • кубические;
  • уравнения с ОДЗ;

10 класс

Контрольная работа. Логарифмы

Контрольная работа для учащихся старшей школы по логарифмам.

  • Понятие логарифма;
  • свойства логарифмов;
  • логарифмические уравнения;
  • логарифмические неравенства.

11 класс

Самостоятельная работа. Производные сложных функций

Небольшая самостоятельная работа проверяет знания правил дифференцирования и
умение вычислять производные сложных функций.

В разделе «Проверь себя» для закрепления и проверки знаний представлены контрольные, самостоятельные работы
и олимпиады по математике для разных классов.

Каждая контрольная, самостоятельная или олимпиада доступна в режиме онлайн с ответами. Для удобства работы
вы можете распечатать любой проверочный материал прямо через сайт.

На нашем математическом форуме
вы можете оставить своё сообщение с пометкой «Отзыв о сайте» о том,
какие еще контрольные или другие проверочные работы по математике, вы бы
хотели увидеть в данном разделе.

Оцените статью
Карусель
Добавить комментарий